Два подхода к решению прямоугольных треугольников

Существует два подхода к изложению темы «Решение прямоугольных треугольников».

Первый подход основан на запоминании четырёх определений основных тригонометрических функций и ещё шести правил:

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла;

2. Катет равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего угла;

3. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего угла;

4. Катет равен другому катету, умноженному на котангенс прилежащего угла;

5. Гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего угла;

6. Гипотенуза равна катету, делённому на косинус прилежащего угла.

Второй подход, в отличие от первого, вынуждает учащихся запомнить лишь четыре определения тригонометрической функции острого угла. Это ведёт к меньшей нагрузке на память. Однако и здесь таятся некоторые трудности для учащихся. Они связаны, во-первых, с выбором нужной функции в условиях конкретной задачи, а во-вторых, с тем, что использование их определений не даёт непосредственного знания нужного элемента треугольника, а лишь приводит к уравнению, из которого этот элемент надо найти. Например:

tg α =, x=, x=ctg α.

Этих трудностей можно избежать, если ввести понятие единичного прямоугольного треугольника.

Назовём этим термином прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

В дальнейшем будем называть его просто единичным треугольником. Пусть один из его острых углов равен α. Тогда очевидно, что длина его противоположного катета равна sin α, а прилежащего – cosα.

Эти сведения ученик должен запомнить, что, в общем-то, несложно, так как всегда синус ассоциируется с противолежащим катетом, а косинус с

прилежащим катетом. Кстати, такой подход обнаруживает эффективный способ вычисления синуса, косинуса и служит пропедевтикой к их определению с помощью единичной окружности.

Пусть теперь дан произвольный прямоугольный треугольник со сторонами k, l, m и острым углом α. Наряду с ним рассмотрим единичный треугольник с таким же углом α. Ясно, что единичный треугольник (пусть длины его сторон равны соответственно k1, l1, m1) подобен данному.

Тогда k: l = k1: l1, k=l (1).

Получено правило нахождения любой стороны прямоугольного треугольника. Сформулируем его следующим образом:

Любая сторона прямоугольного треугольника равна другой стороне, умноженной на отношение сходственных сторон единичного треугольника.

Это правило вобрало в себя все шесть правил, приведенных в начале. Оно легко для запоминания, в нем даже не упоминаются термины: «катет», «гипотенуза», «прилежащие и противолежащие катеты», «синус, косинус, тангенс угла». Ученик не стоит перед необходимостью выбора какого-либо правила, формулы и т.д.

Пример. Пусть дан треугольник, у которого катет равен x, а гипотенуза равна a.

Соответствие сходственных сторон этого треугольника и единичного обозначим стрелками.

xsinα, a1.

Тогда x=a=.

Смотрите также::

Женская одежда. Рубахи
Рубахи, надевавшиеся непосредственно на тело, составляли одну из неотъемлемых частей женского костюма крестьян Южного Алтая второй половины XIX - начала XX вв. В зависимости от покроя в области плечевого пояса женские рубахи можно подразделить на следующие типы: туникообразные, поликовые, со слитны ...

Семейное воспитание
Семью, как фактор воспитания, характеризует воспитательная среда, в которой организуется жизнь и деятельность ребёнка. Известно, что с момента рождения среда для ребёнка является условием и источником развития. Его взаимодействие со средой играет важную роль в психическом развитии и становлении лич ...

Роль ТСО в учебном процессе
Активное применение технических средств обучения - это не привилегия отдельных учителей ТСО становятся неотъемлемой частью учебного процесса везде, где есть увлеченные своим делом учителя, где обучение стало творчеством. Там где технические средства используются грамотно и систематически, они спосо ...