Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).

Доказательство. Из свойства 1º §2 следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 – прямые, AB =A1B1, BC = B1C1 (рис. 8).

Так как < C = < C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина C совместится с вершиной C1, а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C1A1 и C1B1, поскольку CB = C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Но тогда вершины A и A1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A2 луча C1A1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании A1A2 не равны (на рисунке < A2 – острый, а < A1 - тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A1B1C1, то есть они равны.

Что и требовалось доказать.

Смотрите также::

Проектная документация
Проект - интерактивная развивающая игра для детей. Выполнен на DVD носителе и включает в себя проект и электронную версию пояснительной записки. В конечном виде проект представляет собой папку с несколькими swf файлами. Заглавный стартовый файл имеет расширение exe. Диск запускается автоматически б ...

Применение рейтинговой оценки на основе компьютера
“Оценки для вычисления рейтинга сдаются преподавателями в конце каждого месяца. Количество обязательных оценок для каждого класса устанавливается в зависимости от количества часов в неделю, отводимых на практику устной и письменной речи. Для оценки применяется двенадцатибалльная система. Такая сист ...

Психологический аспект формирования у учащихся коммуникативной компетенции письменной речи при обучении иностранному языку на среднем этапе
Средний школьный возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей подростков на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Характерной особен ...