Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).

Доказательство. Из свойства 1º §2 следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых углы C и C1 – прямые, AB =A1B1, BC = B1C1 (рис. 8).

Так как < C = < C1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, что вершина C совместится с вершиной C1, а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C1A1 и C1B1, поскольку CB = C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Но тогда вершины A и A1 также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A2 луча C1A1, то получим равнобедренный треугольник A1B1A2, в котором углы при основании A1A2 не равны (на рисунке < A2 – острый, а < A1 - тупой как смежный с острым углом B1A1C1). Но это невозможно, поэтому вершины A и A1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A1B1C1, то есть они равны.

Что и требовалось доказать.

Смотрите также::

Занимательный материал в организации трудового обучения и воспитания
Основной сферой деятельности детей до 7—8 лет является игра. Как важное средство воспитания, она значительное место занимает и в народной педагогике: « .Игры для детей — серьезное занятие, своего рода уроки, готовящие к труду . Игровая деятельность порою сливается с трудовыми праздниками и входит, ...

Фазы и этапы развития креативности
Становление творческого потенциала ребенка может осуществляться несколькими путями. Один из них – естественный – развертывание генетической программы организмы, другой – создание специальных условий, которые могут способствовать пробуждению и развитию творческих способностей. Причем, творческие спо ...

Характеристика коммуникативной компетенции в письменной речи
Проблеме формирования коммуникативной компетенции уделили большое внимание такие методисты как Сысоева Е.Э., Мильруд Р.П., Гальскова И.Д. и многие другие. Коммуникативная компетенция- способность средствами изучаемого языка осуществлять речевую деятельность в соответствии с целями и ситуацией общен ...