Подобие прямоугольных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников ABC и A1B1C1 углы соответственно равны: <A=<A1, <B=<B1, <C=<C1. В этом случае стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A1B1C1 так что

<A=<A1, <B=<B1, <C=<C1, (1)

(2).

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ∆ABC~∆A1B1C1.

Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугольнику.

На рисунке ABC – прямоугольный треугольник <ABC=90º, CD ┴AB.

Δ ACD ~ Δ CDB;

Δ ACD ~ Δ ABC;

Δ CDB ~ Δ ABC.

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они подобны ∆ABC~∆ CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Смотрите также::

Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования
Известно, что процесс мате­матического моделирования осуществляется в три этапа: 1) формали­зация; 2) решение внутри модели; 3) интерпрета­ция. Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется работе над вторым этапом моделирования, в то время как форма­лизация и интерпретация остаются недос ...

Социальные характеристики учащихся и взаимоотношения школьников
Четвертый компонент педагогического искусства предполагает знание педагогом социологических характеристик ребенка и взаимоотношений детей в группе. Для педагогического искусства социологическая реальность всего лишь отправная точка для организованного педагогического действия. Социологические метод ...

Основы элементов детского актерского мастерства
Художник с детства должен уметь рисовать, музыкант с детства должен иметь слух, что же касается актёрских способностей, они есть у каждого, все дети играют. В известном смысле все люди - актёры. Хотя бы потому, что социальное положение человека неминуемо диктует ему формы его социального поведения. ...