Углы в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,

а катет AC – прилежащим к этому углу.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла равного α обозначается символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке

, (1)

, (2)

, (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим

(4),

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны α (рис. 11).

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что , то есть .

Аналогично , то есть , и , то есть .

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь справедливость равенства

(5).

Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора , поэтому .

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

Доказательство. Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).

По определению косинуса угла . Отсюда . Аналогично . Отсюда .

Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .

Что и требовалось доказать.

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов

Смотрите также::

Общая характеристика гибкости как физического качества человека
«Гибкостью» в применении к физическим качествам человека принято называть свойство упругой растягиваемости телесных структур (главным образом мышечных и соединительных), определяющее пределы амплитуды движений звеньев тела. В отличие от основных двигательных способностей, являющихся непосредственны ...

Учет ошибок и работа над ними как важный фактор контроля за учебной деятельностью
Учителю необходимо всегда знать, как продвигаются его ученики в области грамматики правописания. Этому помогает ведение учителем учёта ошибок в письменных работах. В своей учетной тетради учитель отводит для наиболее слабых учеников страничку или несколько страничек. Он регулярно отмечает на этих с ...

Психологические основы методики обучения чтению
Осваивая навык чтения, дети закономерно проходят определенные этапы, которые в определенной степени различаются по психологическому содержанию. Егоров Т. Г. выделял следующие ступени овладения чтением: а) овладение звукобуквенными обозначениями; б) послоговое чтение; в) ступень становления синтетич ...