Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,
а катет AC – прилежащим к этому углу.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Синус, косинус и тангенс угла равного α обозначается символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке
, (1)
, (2)
, (3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим
(4),
то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны α (рис. 11).
Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что
, то есть
.
Аналогично , то есть
, и
, то есть
.
Что и требовалось доказать.
Докажем теперь справедливость равенства
(5).
Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора
, поэтому
.
Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.
Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.
Доказательство. Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).
По определению косинуса угла . Отсюда
. Аналогично
. Отсюда
.
Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .
Что и требовалось доказать.
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов
Смотрите также::
Особенности организации художественного творческого коллектива
Утрата народом своего искусства, своих художественных ценностей - это национальная трагедия и угроза самому существованию нации. М.П. Мусоргский. Народная песня исключительно ценный материал в эстетическом воспитании. Яркие образы добра и зла в песнях, сказках, припевках доступны и понятны детям. Х ...
Особенности чтения учащихся 2 классов с отклонениями в
речевом развитии
Нарушение чтения у школьников чаще всего возникает вследствие недоразвития всех компонентов языка: фонетико-фонематического и лексико-грамматического. При глубоких степенях недоразвития речи дети оказываются не в состоянии овладеть чтением в условиях массовой школы. Дети с менее глубоким недоразвит ...
Обеспечение условий для полноценного развития творчества у
детей подготовительной к школе группы
На своеобразие проявления изобразительных способностей у детей большое влияние оказывает окружающая среда ребенка, условия его воспитания и обучения. Психологами выявлено, что ребенок чаще изображает в своих рисунках условия окружающей среды, в которой он растет, то, что он видит вокруг. Например, ...