Углы в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,

а катет AC – прилежащим к этому углу.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла равного α обозначается символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке

, (1)

, (2)

, (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим

(4),

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны α (рис. 11).

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что , то есть .

Аналогично , то есть , и , то есть .

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь справедливость равенства

(5).

Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора , поэтому .

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

Доказательство. Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).

По определению косинуса угла . Отсюда . Аналогично . Отсюда .

Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .

Что и требовалось доказать.

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов

Смотрите также::

Некоторые теоретические подходы к определению понятия "познавательный интерес"
Проблема интереса в современной науке представлена с различных позиций. В исследованиях М.Ф. Беляева15, А.А. Невского изучается психологическая природа интереса; в работах Ю.К. Бабанского16 познавательный интерес выступает в основном как средство обучения. Познавательный интерес рассматривается В.Н ...

Специальное образование при аутизме и аутистических чертах личности
Под термином аутизм понимают «отрыв от реальности, себя, отсутствие или парадоксальность реакций на внешние действия, пассивность и сверхранимость в контактах со средой»(К.С.Лебединская). Аутизм как симптом встречается при довольно многих психических расстройствах, но в некоторых случаях он проявля ...

Компьютерная зависимость как результат увлеченностью компьютерными играми
Задача параграфа: раскрыть понятие «компьютерная зависимость», проанализировать влияние компьютерной зависимости на процесс воспитания детей, выявить стадии компьютерной зависимости. Термин «компьютерная зависимость» определяет патологическое пристрастие человека к работе или проведению времени за ...