Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,
а катет AC – прилежащим к этому углу.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Синус, косинус и тангенс угла равного α обозначается символами sin α, cos α и tg α (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке
, (1)
, (2)
, (3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим
(4),
то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Теорема. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Доказательство. Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C1 и с одним и тем же углом при вершине A и A1 равны α (рис. 11).
Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что
, то есть
.
Аналогично , то есть
, и
, то есть
.
Что и требовалось доказать.
Докажем теперь справедливость равенства
(5).
Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора
, поэтому
.
Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.
Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.
Доказательство. Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).
По определению косинуса угла . Отсюда
. Аналогично
. Отсюда
.
Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .
Что и требовалось доказать.
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов
Смотрите также::
Организация учебного процесса в средневековом университете
Существовали две «семьи» университетских статутов (обеспечивающих их внутреннюю жизнь документов) – Болонская и Парижская (или «южная» и «северная»). Последняя была более распространенной. Среди студентов можно было встретить как детей и подростков, так и убеленных сединами старцев. Чаще всего обуч ...
Решение ситуационных производственных задач
Этот метод используется для формирования у учащихся профессио-нальных умений. Основным дидактическим материалрм служит ситуацион-ная задача, которая включает в себя условия (описание ситуации и исходные количественные данные) и вопрос (задание), поставленный перед учащими-ся. Ситуационная задача до ...
Тренажер, включающий модель, основанную на уравнениях баланса
с коэффициентами, полученными из экспериментальных данных
Существенным шагом вперед в сфере построения моделей энергоблоков стало признание того факта, что модели должны напрямую строиться на основе физических законов, которыми определяется функционирование реального объекта. Прежде всего, это законы сохранения энергии (тепла), массы и количества движения ...