Теорема Пифагора

Значение её состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» – по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора, которая является важнейшей теоремой геометрии.

Если дан нам треугольник,

И при том с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придем.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и c (рис. 9 а).

Докажем, что c2 = a2 + b2. Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b, так как показано на рисунке (рис. 9 б).

Площадь такого квадрата со стороной a + b равна (a + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна ab, и квадрат со стороной с, поэтому

.

Таким образом, (a + b)2 =2ab + c2, откуда c2 = a2 + b2.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Доказательство. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2. Так как ВС2>0, то АС2<АВ, То есть АС<АВ.

Следствие 2. Для любого острого угла α cosα <1.

Докзательсво. По определению косинуса cosα = . Но в следствии 1 было доказано, что АС<АВ, значит, дробь меньше 1.

Прямоугольные треугольники, у которых стороны выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn; b=k(m2-n2); c=k(m2+n2), где k, m и n – натуральные числа, такие, что m>n. Треугольники, со сторонами, длины которых равны 3, 4, 5 называются египетскими треугольниками, т. к. они были известны ещё древним египтянам.

Обратная к теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника).

Доказательство.

Пусть в треугольнике ABC AB2 = AC2 + BC2. Докажем, что угол C – прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1, у которого A1C1 = AC и B1C1 = BC. По теореме Пифагора A1B12=A1C12+B1C12, и значит, A1B12 = AC2 +BC2. Но AC2 + BC2 = AB2 по условию теоремы. Следовательно, A1B12 = AB2, откуда A1B1 = AB. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам, поэтому < C = < C1, то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

Смотрите также::

Депривационные феномены как причина и следствие нарушенного развития
Термин «депривация», вошедший в психологический сло­варь в середине восьмидесятых годов, в буквальном смысле означает «лишение». По своей сути депривационные фено­мены представляют собой многообразные измененные состо­яния сознания, а также различные варианты нарушений нор­мального хода возрастного ...

Введение понятия прямоугольного треугольника
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. На рисунке 1 мы видим треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, AC, CB. Треугольник обозн ...

Типы и структура учебных заданий по математике с элементами историзма
Что же такое учебное задание? На этот вопрос можно ответить с точки зрения учебной деятельности. Её «основным структурным компонентом является учебная задача. Цель этой задачи – развитие обучающегося, подведение его к овладению обобщенными (основными) отношениями в рассматриваем области, к усвоению ...